Математика / Алгебра

Частное степеней с одинаковым основанием

При делении степеней с одинаковым ненулевым основанием основание сохраняют, а из показателя числителя вычитают показатель знаменателя.

Опубликовано: 3 июня 2026 г.Обновлено: 3 июня 2026 г.

Формула

\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n},\quad a \ne 0

Обозначения

$a$: ненулевое основание степени
m, n: показатели степени

Условия применения

Основания степеней в числителе и знаменателе одинаковые.
Основание не равно нулю, потому что деление на ноль невозможно.
В базовом курсе 7 класса обычно рассматривают натуральные показатели и случай m >= n.

Ограничения

Нельзя применять правило при нулевом основании.
Для разных оснований показатели не вычитают.
Если показатель знаменателя больше показателя числителя, в 7 классе лучше оставить степень в знаменателе или отдельно обсудить отрицательный показатель.

Подробное объяснение

Частное степеней с одинаковым основанием основано на сокращении одинаковых множителей. В числителе a^m записано m множителей a, а в знаменателе a^n записано n таких же множителей. Одинаковые множители можно сократить попарно. После сокращения в числителе остается m-n множителей a, если m не меньше n. Поэтому результат записывается как a^(m-n). Основание сохраняется, потому что оставшиеся множители имеют тот же вид. Условие a != 0 обязательно: знаменатель a^n при a = 0 равен нулю, а деление на ноль не определено. Даже если после формального вычитания показателей получилось бы выражение, исходная дробь при a = 0 не имеет смысла. В задачах правило часто применяется при делении одночленов: 12x^7 / 3x^2 = 4x^5. Числовые коэффициенты делят отдельно, а степени одинаковой буквы сокращают по показателям. Это правило похоже на произведение степеней, но действие с показателями другое: при умножении они складываются, при делении вычитаются.

Как пользоваться формулой

Проверьте, что основания одинаковые.
Убедитесь, что основание не равно нулю.
Оставьте основание прежним.
Вычтите показатель знаменателя из показателя числителя.

Историческая справка

Правило частного степеней выросло из обычного сокращения дробей и определения степени. Пока степени записывали словами, такое сокращение выполнялось как счет одинаковых множителей в числителе и знаменателе. С развитием буквенной алгебры и показательной записи стало возможно сформулировать общее равенство для любых натуральных m и n. В школьной традиции это правило закрепилось рядом с произведением степеней и степенью степени, потому что все три свойства нужны для работы с одночленами и многочленами. Позже оно стало основой для введения нулевого и отрицательного показателей степени. В XX веке такая запись стала стандартной в школьных учебниках: она позволяет быстро переходить от доказанного свойства к вычислению и сохраняет связь с исходным рассуждением.

Историческая линия формулы

Единственного автора у правила нет. Оно следует из определения степени, правил деления и сокращения дробей; современная форма связана с развитием алгебраической символики и показательной записи. Поэтому в учебной атрибуции указывают математическую традицию и вывод из определения, а не одного автора.

Пример

Задача: упростить дробь 18y^8 / 6y^3 при y != 0. Дано: коэффициенты 18 и 6, одинаковое основание y, показатели 8 и 3. Делим коэффициенты: 18/6 = 3. Для степеней применяем правило: y^8 / y^3 = y^(8-3) = y^5. Получаем 18y^8 / 6y^3 = 3y^5. Ответ: 3y^5 при y != 0. Проверка при y = 2: исходная дробь равна 18*256/(6*8)=4608/48=96. Итоговое выражение равно 3*32=96. Значения совпали, условие y != 0 сохранено. Дополнительная проверка: если выполнить обратную подстановку в исходную запись, обе части дают одно и то же значение, а единицы ответа соответствуют величине из условия.

Частая ошибка

Часто забывают условие ненулевого основания и сокращают дробь при a = 0, хотя исходный знаменатель тогда равен нулю. Еще одна ошибка - вычитать показатели у разных оснований, например x^5/y^2. При делении одночленов отдельно проверяйте коэффициенты: 18/6 дает 3, а не 12. Если показатель в знаменателе больше, не записывайте ответ без понимания отрицательных степеней.

Практика

Задачи с решением

Сократить степени

Условие. Упростите a^9/a^4 при a != 0.

Решение. Основание одинаковое и ненулевое. Вычитаем показатели: a^(9-4)=a^5.

Ответ. a^5

Разделить одночлены

Условие. Упростите 20x^6 / 5x^2 при x != 0.

Решение. 20/5=4, x^6/x^2=x^4. Получаем 4x^4.

Ответ. 4x^4

Дополнительные источники

Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. Алгебра. 7 класс. Разделы «Выражения», «Уравнения», «Степень с натуральным показателем»
Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Алгебра. 7 класс. Главы о линейных уравнениях, степенях и многочленах
ФИПИ. ОГЭ по математике: кодификатор проверяемых требований, раздел «Алгебраические выражения и уравнения»

Связанные формулы

Математика

Произведение степеней с одинаковым основанием

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

При умножении степеней с одинаковым основанием основание сохраняют, а показатели складывают, потому что множители одного вида объединяются.

Математика

Степень произведения

$(ab)^n = a^n b^n$

Степень произведения равна произведению степеней всех множителей: каждый множитель внутри скобок возводится в тот же показатель.

Математика

Произведение одночленов

$(ax^m)(bx^n) = abx^{m+n}$

Произведение одночленов получают перемножением коэффициентов и сложением показателей степеней у одинаковых оснований. Формула связывает тему одночленов с правилами степеней и используется при умножении многочленов.

Математика

Равносильные преобразования уравнения

$A = B \Longleftrightarrow A + m = B + m$

Равносильные преобразования меняют запись уравнения, но сохраняют все его решения. В 7 классе это основа переноса слагаемых, раскрытия скобок и деления на ненулевой коэффициент.

Математика

Приведение подобных слагаемых

$ka + ma = (k + m)a$

Приведение подобных слагаемых позволяет заменить сумму однотипных членов одним членом с общим буквенным множителем. Это базовое действие для упрощения выражений, решения линейных уравнений и подготовки многочленов к дальнейшим преобразованиям.

Математика

Умножение многочлена на многочлен

$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$

Чтобы умножить многочлен на многочлен, каждый член первого многочлена умножают на каждый член второго, затем приводят подобные слагаемые.

Математика

Вынесение общего множителя за скобки

$ab + ac = a(b + c)$

Вынесение общего множителя за скобки превращает сумму одночленов с общей частью в произведение. Это первый и самый важный способ разложения многочлена на множители в 7 классе.