Все формулы РФ

Математика / Начала анализа

Формула Симпсона: интеграл по параболическим дугам

Составная формула Симпсона объединяет соседние промежутки попарно и заменяет функцию параболой через три узла. Для равномерной сетки число промежутков должно быть чётным.

Опубликовано: Обновлено:

Математический анализАлгебраСтраницы с задачами и решениямиЕсть историческая справка

Формула

$$S_n=\frac h3\left[f_0+f_n+4\!\sum_{\substack{i=1\\i\text{ нечётное}}}^{n-1}f_i+2\!\sum_{\substack{i=2\\i\text{ чётное}}}^{n-2}f_i\right]$$
Схема Вес каждого узла у Симпсона
Симпсон для x⁴, h=0,5Симпсон для x⁴, h=0,5xf(x)=x⁴Вес0010,50,062541121,55,062542161Каждая пара промежутков использует три узла

Сумма с весами равна 38,5; множитель h/3=1/6 даёт 77/12.

Обозначения

$S_n$
приближённый интеграл, единица функции × единица аргумента
$n$
чётное число равных промежутков, не меньше 2, безразмерно
$h$
шаг (b−a)/n; a,b — границы интегрирования, единица аргумента
$f_i$
значение f(a+ih) в узле с индексом i, единица функции
$i$
индекс узла от 0 до n, безразмерно

Условия применения

Нужны равноотстоящие узлы и чётное число промежутков. На каждой паре промежутков используются три значения функции. Стандартная оценка ошибки четвёртого порядка предполагает непрерывную ограниченную четвёртую производную на всём отрезке; одного наличия таблицы для этой гарантии недостаточно.

Ограничения

Нечётное число промежутков нельзя молча подставить в показанную составную формулу. Для неравномерных узлов стандартные веса 1,4,2,…,4,1 неприменимы. Разрывы, особенности и шум измерений могут разрушить ожидаемую скорость уменьшения ошибки при уточнении сетки.

Подробное объяснение

На паре одинаковых промежутков три значения функции задают интерполяционный многочлен не выше второй степени. Интегрирование этого многочлена даёт веса 1,4,1 и общий множитель h/3. Центральная точка получает больший вес, поскольку парабола учитывает изгиб между краями.

При объединении пар общие границы двух соседних парабол участвуют дважды и получают вес 2. Середины пар имеют вес 4, а только внешние концы всего отрезка сохраняют вес 1. Чередование весов объясняет, почему число промежутков должно быть чётным.

Хотя строится парабола, правило точно интегрирует любой многочлен степени не выше трёх. Кубическая часть ошибки на симметричной паре взаимно компенсируется. Это свойство можно проверить непосредственной подстановкой функций 1, x, x² и x³.

Для достаточно гладкой функции модуль ошибки ограничен длиной отрезка, умноженной на h⁴ и максимум модуля четвёртой производной, с делением на 180. Поэтому двукратное уменьшение шага обычно сокращает ведущую ошибку примерно в 16 раз. Оценка относится к гладкой функции, а не к произвольной шумной таблице.

Точность квадратуры не равна точности исходных данных. Если значения измерены с ошибками, более высокая степень интерполяции не устраняет смещение датчика. Перед применением полезно отделить погрешность дискретизации от неопределённости самих узловых значений.

Как пользоваться формулой

  1. Выберите чётное число промежутков и проверьте равномерность узлов; вычислите h как длину отрезка, делённую на n.
  2. Дайте крайним значениям вес 1, значениям с нечётными индексами вес 4, а внутренним чётным индексам вес 2.
  3. Сложите взвешенные значения и умножьте сумму на h/3; контролируйте индексы, начиная нумерацию с нуля.
  4. При оценке точности сравните результат с более мелкой сеткой или используйте границу четвёртой производной.

Историческая справка

Правило носит имя английского математика Томаса Симпсона, жившего в XVIII веке. Биографическая справка MacTutor связывает его работы с анализом, квадратурами и распространением вычислительных методов, но подчёркивает, что известное правило имело предшествующую историю. Поэтому название не следует понимать как бесспорное утверждение единоличного первенства. В современной классификации это замкнутая формула Ньютона–Котеса по трём равноотстоящим узлам. Её вывод через интегрирование интерполяционного многочлена делает понятными коэффициенты и точность на кубических функциях. Составная запись появилась как естественный способ применять одно и то же локальное правило на длинном отрезке. Сейчас в численном анализе вместе с формулой изучают контроль остатка и случаи, когда гладкость функции недостаточна для четвёртого порядка.

Историческая линия формулы

Историческое имя Симпсона закреплено за правилом квадратуры, но не исключает более ранних результатов. Здесь дана современная составная версия через параболическую интерполяцию, с явными требованиями к сетке и гладкости; вопрос первенства не сводится к названию формулы.

Пример

Приблизим интеграл x⁴ от 0 до 2 при n = 2. Шаг h = 1, значения в узлах 0,1,2 равны 0,1,16. Формула даёт S₂ = (1/3) · (0 + 4 · 1 + 16) = 20/3 ≈ 6,666667. Точный интеграл равен 2⁵/5 = 32/5 = 6,4, поэтому ошибка S₂ − I = 4/15 ≈ 0,266667. Проверка через четвёртую производную: она равна 24, а граница 2 · 1⁴ · 24/180 = 4/15 совпадает с ошибкой. Если взять n = 4 и h = 0,5, значения становятся 0;0,0625;1;5,0625;16. Тогда S₄ = (0,5/3) · [16 + 4 · (0,0625 + 5,0625) + 2] = 77/12 ≈ 6,416667. Ошибка 1/60 в 16 раз меньше прежней. Все величины в учебном примере безразмерны.

Частая ошибка

Не путайте нечётный индекс узла с нечётным значением аргумента. Не применяйте веса Симпсона к нечётному числу промежутков без отдельного правила для остатка. Не забывайте деление на 3 после умножения на шаг. Не обещайте точность для любой кубической формы данных, если сетка неравномерна.

Практика

Задачи с решением

Кубическая точность

Условие. Примените правило к x³ на [0;2] при n = 2.

Решение. h = 1, значения 0,1,8. S₂ = (0 + 4 · 1 + 8)/3 = 4. Первообразная x⁴/4 даёт 16/4 = 4, поэтому результат точный.

Ответ. 4.

Квадратная функция

Условие. Найдите интеграл x² на [0;1] при n = 4 по Симпсону.

Решение. h = 0,25, значения 0;0,0625;0,25;0,5625;1. Взвешенная сумма 1 + 4 · (0,0625 + 0,5625) + 2 · 0,25 = 4. S₄ = 0,25 · 4/3 = 1/3.

Ответ. 1/3, точно.

Дополнительные источники

  • https://dlmf.nist.gov/3.5
  • https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Simpson/
  • https://fncbook.com/integration/

Связанные формулы

Математика

Составная формула трапеций для вычисления интеграла

$T_n=h\left[\frac{f(a)+f(b)}2+\sum_{i=1}^{n-1}f(a+ih)\right],\quad h=\frac{b-a}{n}$

Составная формула трапеций приближает определённый интеграл суммой площадей под линейными отрезками между соседними узлами. Концевые значения получают половинный вес.

Математика

Формула Ньютона-Лейбница

$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a),\quad F'(x)=f(x)$

Смысл формулы: если есть первообразная F функции f, определённая на отрезке [a,b], то определённый интеграл на этом отрезке равен разности значений первообразной на концах.

Математика

Площадь под графиком

$S = \int_a^b f(x)\,dx$

Сформулировка площади (с учётом знака) для функции на отрезке [a,b] при геометрической интерпретации как интегральной суммы.