Пределы, ряды, страница 2

$\sum_{n=1}^{\infty} a_1 q^{n-1} = \frac{a_1}{1-q}, \quad |q|<1$

$\sum_{n=1}^{\infty} a_n\text{ сходится }\Rightarrow\lim_{n\to\infty} a_n=0$

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \,\,\text{(расходится)}$

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \text{ сходится }\iff p>1$

$0\le a_n\le b_n,\;\sum b_n\text{ сходится }\Rightarrow\sum a_n\text{ сходится};\;0\le b_n\le a_n,\;\sum b_n\text{ расходится }\Rightarrow\sum a_n\text{ расходится}$

$L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|;\;L<1\Rightarrow\text{абс.схожд};\;L>1\Rightarrow\text{расхожд};\;L=1\text{ не информативно}$

$a_n>0, a_n\downarrow 0 \Rightarrow \sum a_n \text{ сходится }\iff \sum 2^n a_{2^n} \text{ сходится}$

$\sum a_n\text{ абсолютно сходится}\iff\sum|a_n|\text{ сходится};\;\sum a_n\text{ условно сходится }\iff\sum a_n\text{ сходится, но }\sum|a_n|\text{ расходится}$

$\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y)=L \iff \forall \epsilon>0 \exists \delta>0:0<\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta \Rightarrow |f(x,y)-L|<\epsilon$

$f_x(a,b)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h},\quad f_y(a,b)=\lim_{k\to0}\frac{f(a,b+k)-f(a,b)}{k}$

$\nabla f(a,b)=(f_x(a,b), f_y(a,b))$

$D_{\mathbf u}f(a,b)=\nabla f(a,b)\cdot\mathbf u=f_x(a,b)u_1+f_y(a,b)u_2,\quad \|\mathbf u\|=1$

$df(a,b)=f_x(a,b)\,dx+f_y(a,b)\,dy$

$z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)$

$\nabla f(a,b)=(0,0)$

$D=f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b)-f_{xy}(a,b)^2; D>0, f_{xx}>0 \Rightarrow min; D>0, f_{xx}<0 \Rightarrow max; D<0 \Rightarrow saddle$

$J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}x_u & x_v\\ y_u & y_v\end{vmatrix},\quad dA_{xy}=|J|dA_{uv}$

$\iint_D f(x,y)\,dA=\lim_{\max\Delta A_i\to0}\sum_i f(\xi_i,\eta_i)\,\Delta A_i$

$\iint_D f(x,y)\,dA=\int_a^b\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(x,y)\,dy\,dx=\int_c^d\int_{\gamma(y)}^{\delta(y)} f(x,y)\,dx\,dy$

$\iiint_G f(x,y,z)\,dV=\lim_{\max \Delta V_i\to0}\sum_i f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\,\Delta V_i$

$x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad dA=r\,dr\,d\theta$

$x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z,\quad dV=r\,dr\,d\theta\,dz$

$x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi,\quad dV=\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$

$J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}x_u & x_v\\ y_u & y_v\end{vmatrix},\qquad dA_{xy}=|J|\,dA_{uv}$

$S(D)=\iint_D 1\,dA$

$V(G)=\iiint_G 1\,dV$

$\bar x=\frac1M\iint_D x\rho(x,y)\,dA,\qquad \bar y=\frac1M\iint_D y\rho(x,y)\,dA,\qquad M=\iint_D \rho\,dA$

$\int_C f\,ds=\int_a^b f(\mathbf r(t))\,\|\mathbf r'(t)\|\,dt$

$\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_a^b \left(P\,x'(t)+Q\,y'(t)+R\,z'(t)\right)dt$

$\iint_S g\,dS=\iint_D g(\mathbf r(u,v))\,\|\mathbf r_u\times\mathbf r_v\|\,du\,dv$

$\Phi=\iint_S \mathbf F\cdot \mathbf n\,dS=\iint_S (P n_1+Q n_2+R n_3)\,dS$

$\nabla\cdot\mathbf F=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$

$\nabla\times\mathbf F=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\;\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\;\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)$

$\oint_{\partial D} P\,dx+Q\,dy=\iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA$

$\iiint_V (\nabla\cdot\mathbf F)\,dV=\iint_{\partial V}\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS$

$\iint_S (\nabla\times\mathbf F)\cdot \mathbf n\,dS=\oint_{\partial S}\mathbf F\cdot d\mathbf r$

$\mathbf F=\nabla\varphi \Rightarrow \int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r=\varphi(B)-\varphi(A),\;\nabla\times\mathbf F=0\;\text{в односвязной области}$

$\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-a)^n$

$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}},\quad (1/\limsup=\infty\text{ если }\limsup=0),\quad (1/\infty=0)$

$I=(a-R,a+R),\quad a\pm R\text{ — проверяются отдельно }$

$f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+R_n(x),\quad R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$

$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!},\quad x\in\mathbb R$

$\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!},\quad x\in\mathbb R$

$\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!},\quad x\in\mathbb R$

$\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^n= x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots,\quad -1<x\le 1$

$(1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n}x^n,\quad \binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!},\quad |x|<1\text{ (обычно)}$

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-a)^n \Rightarrow f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n(x-a)^{n-1},\quad \int f(x)\,dx=C+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}(x-a)^{n+1}$

$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$

$f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+o\bigl((x-a)^n\bigr),\quad x\to a$

$\sum_{n=1}^{\infty}a_n\text{ сходится}\Longleftrightarrow \forall\varepsilon>0\ \exists N:\left|\sum_{k=m}^{n}a_k\right|<\varepsilon\quad(n\ge m\ge N)$

$0\le f(x)\le g(x),\quad \int_a^b g(x)\,dx<\infty\ \Rightarrow\ \int_a^b f(x)\,dx<\infty$

$\sum_{n=N}^{\infty} f(n)\text{ сходится}\Longleftrightarrow \int_N^{\infty} f(x)\,dx\text{ сходится}$

$U(f,P)=\sum_{i=1}^{n} M_i\Delta x_i,\quad L(f,P)=\sum_{i=1}^{n} m_i\Delta x_i$

$\int_a^b f(x)\,dx=f(c)(b-a),\quad c\in[a,b]$

$\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0:\ |x-y|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon\quad(x,y\in E)$

$D_{\mathbf u}f(\mathbf a)=\nabla f(\mathbf a)\cdot \mathbf u,\quad \|\mathbf u\|=1$

$\nabla\cdot\mathbf F=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rF_r)+\frac{1}{r}\frac{\partial F_\theta}{\partial\theta}+\frac{\partial F_z}{\partial z}$