Содержание
Есть историческая справка, страница 12
Страницы, где объясняется происхождение формулы или идеи.
1375 формул
Таблица формул
Показаны 661-720 из 1375. Остальные формулы доступны на соседних страницах подборки.
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Центр масс области и тела | $\bar x=\frac1M\iint_D x\rho(x,y)\,dA,\qquad \bar y=\frac1M\iint_D y\rho(x,y)\,dA,\qquad M=\iint_D \rho\,dA$ | Пределы, ряды | Центр масс области и тела: формула \bar x=\frac1M\iint_D x\rho(x,y)\,dA,\qquad \bar y=\frac1M\iint_D y\rho(x,y)\,dA,\qquad M=\iint_D \rho\,dA помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Криволинейный интеграл первого рода | $\int_C f\,ds=\int_a^b f(\mathbf r(t))\,\|\mathbf r'(t)\|\,dt$ | Пределы, ряды | Криволинейный интеграл первого рода: формула \int_C f\,ds=\int_a^b f(\mathbf r(t))\,\|\mathbf r'(t)\|\,dt помогает требуется требуется требуется требуется требуется требуется величина распределена по траектории: плотность по дороге, массовая распределенность вдоль проволоки или среднее значение по контуру. В текст... |
| Криволинейный интеграл второго рода | $\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_a^b \left(P\,x'(t)+Q\,y'(t)+R\,z'(t)\right)dt$ | Пределы, ряды | Криволинейный интеграл второго рода: формула \int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_a^b \left(P\,x'(t)+Q\,y'(t)+R\,z'(t)\right)dt помогает вычислить интеграл и проверить границы применения метода. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Поверхностный интеграл первого рода | $\iint_S g\,dS=\iint_D g(\mathbf r(u,v))\,\|\mathbf r_u\times\mathbf r_v\|\,du\,dv$ | Пределы, ряды | Поверхностный интеграл первого рода: формула \iint_S g\,dS=\iint_D g(\mathbf r(u,v))\,\|\mathbf r_u\times\mathbf r_v\|\,du\,dv помогает вычислить интеграл и проверить границы применения метода. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Поток векторного поля через поверхность | $\Phi=\iint_S \mathbf F\cdot \mathbf n\,dS=\iint_S (P n_1+Q n_2+R n_3)\,dS$ | Пределы, ряды | Поток векторного поля через поверхность: формула \Phi=\iint_S \mathbf F\cdot \mathbf n\,dS=\iint_S (P n_1+Q n_2+R n_3)\,dS помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Дивергенция векторного поля | $\nabla\cdot\mathbf F=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$ | Пределы, ряды | Дивергенция векторного поля: формула \nabla\cdot\mathbf F=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Ротор векторного поля | $\nabla\times\mathbf F=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\;\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\;\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)$ | Пределы, ряды | Ротор векторного поля: формула \nabla\times\mathbf F=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\;\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\;\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы... |
| Теорема Грина | $\oint_{\partial D} P\,dx+Q\,dy=\iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA$ | Пределы, ряды | Теорема Грина: формула \oint_{\partial D} P\,dx+Q\,dy=\iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Теорема Гаусса-Остроградского | $\iiint_V (\nabla\cdot\mathbf F)\,dV=\iint_{\partial V}\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS$ | Пределы, ряды | Теорема Гаусса-Остроградского: формула \iiint_V (\nabla\cdot\mathbf F)\,dV=\iint_{\partial V}\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Теорема Стокса | $\iint_S (\nabla\times\mathbf F)\cdot \mathbf n\,dS=\oint_{\partial S}\mathbf F\cdot d\mathbf r$ | Пределы, ряды | Теорема Стокса: формула \iint_S (\nabla\times\mathbf F)\cdot \mathbf n\,dS=\oint_{\partial S}\mathbf F\cdot d\mathbf r помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Потенциальное поле и независимость пути | $\mathbf F=\nabla\varphi \Rightarrow \int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r=\varphi(B)-\varphi(A),\;\nabla\times\mathbf F=0\;\text{в односвязной области}$ | Пределы, ряды | Потенциальное поле и независимость пути: формула \mathbf F=\nabla\varphi \Rightarrow \int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r=\varphi(B)-\varphi(A),\;\nabla\times\mathbf F=0\;\text{в односвязной области} помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и пров... |
| Степенной ряд | $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-a)^n$ | Пределы, ряды | Степенной ряд: формула \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-a)^n помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Радиус сходимости степенного ряда | $R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}},\quad (1/\limsup=\infty\text{ если }\limsup=0),\quad (1/\infty=0)$ | Пределы, ряды | Радиус сходимости степенного ряда: формула R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}},\quad (1/\limsup=\infty\text{ если }\limsup=0),\quad (1/\infty=0) помогает }\limsup=0),\quad (1/\infty=0) помогает }\limsup=0),\quad (1/\infty=0) помогает }\limsup=0),\quad (1/\infty=0) помогает }\limsup=0),\quad (1/\infty=0... |
| Интервал сходимости степенного ряда | $I=(a-R,a+R),\quad a\pm R\text{ — проверяются отдельно }$ | Пределы, ряды | Интервал сходимости степенного ряда: формула I=(a-R,a+R),\quad a\pm R\text{ — проверяются отдельно } помогает требуется требуется требуется требуется требуется требуется разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Формула Тейлора с остаточным членом | $f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+R_n(x),\quad R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$ | Пределы, ряды | Формула Тейлора с остаточным членом: формула f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+R_n(x),\quad R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Ряд Маклорена для e^x | $e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!},\quad x\in\mathbb R$ | Пределы, ряды | Ряд Маклорена для e^x: формула e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!},\quad x\in\mathbb R помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Ряд Маклорена для sin x | $\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!},\quad x\in\mathbb R$ | Пределы, ряды | Ряд Маклорена для sin x: формула \sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!},\quad x\in\mathbb R помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Ряд Маклорена для cos x | $\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!},\quad x\in\mathbb R$ | Пределы, ряды | Ряд Маклорена для cos x: формула \cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!},\quad x\in\mathbb R помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Ряд ln(1+x) | $\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^n= x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots,\quad -1<x\le 1$ | Пределы, ряды | Ряд ln(1+x): формула \ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^n= x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots,\quad -1<x\le 1 помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Биномиальный ряд | $(1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n}x^n,\quad \binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!},\quad |x|<1\text{ (обычно)}$ | Пределы, ряды | Биномиальный ряд: формула (1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n}x^n,\quad \binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!},\quad |x|<1\text{ (обычно)} помогает разобрать функцию через пределы, производные, интегралы или ряды. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата. |
| Дифференцирование и интегрирование степенных рядов | $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-a)^n \Rightarrow f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n(x-a)^{n-1},\quad \int f(x)\,dx=C+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}(x-a)^{n+1}$ | Пределы, ряды | Дифференцирование и интегрирование степенных рядов: формула f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-a)^n \Rightarrow f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n(x-a)^{n-1},\quad \int f(x)\,dx=C+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}(x-a)^{n+1} помогает требуется требуется требуется требуется требуется требуется найти производную или диффер... |
| Правило Лопиталя для неопределенностей 0/0 и infinity/infinity | $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ | Пределы, ряды | Правило Лопиталя заменяет предел отношения функций пределом отношения их производных, когда исходная дробь дает неопределенность 0/0 или infinity/infinity и выполнены условия дифференцируемости. |
| Остаток Пеано в формуле Тейлора | $f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+o\bigl((x-a)^n\bigr),\quad x\to a$ | Пределы, ряды | Остаток Пеано показывает, что ошибка тейлоровского многочлена n-й степени мала по сравнению с (x-a)^n. Такая запись фиксирует локальный порядок приближения без точной оценки константы. |
| Критерий Коши сходимости числового ряда | $\sum_{n=1}^{\infty}a_n\text{ сходится}\Longleftrightarrow \forall\varepsilon>0\ \exists N:\left|\sum_{k=m}^{n}a_k\right|<\varepsilon\quad(n\ge m\ge N)$ | Пределы, ряды | Критерий Коши проверяет сходимость ряда через малость любых достаточно дальних хвостовых сумм. Он не требует заранее знать сумму ряда и выражает полноту числовой прямой. |
| Признак сравнения для несобственных интегралов | $0\le f(x)\le g(x),\quad \int_a^b g(x)\,dx<\infty\ \Rightarrow\ \int_a^b f(x)\,dx<\infty$ | Пределы, ряды | Признак сравнения переносит сходимость или расходимость несобственного интеграла с известной функции на сравниваемую неотрицательную функцию через поточечное неравенство. |
| Интегральный признак сходимости ряда | $\sum_{n=N}^{\infty} f(n)\text{ сходится}\Longleftrightarrow \int_N^{\infty} f(x)\,dx\text{ сходится}$ | Пределы, ряды | Интегральный признак связывает ряд с несобственным интегралом от положительной убывающей функции. Он позволяет заменить сумму площадью под графиком и оценить хвост. |
| Верхняя и нижняя суммы Дарбу | $U(f,P)=\sum_{i=1}^{n} M_i\Delta x_i,\quad L(f,P)=\sum_{i=1}^{n} m_i\Delta x_i$ | Пределы, ряды | Суммы Дарбу оценивают площадь под ограниченной функцией сверху и снизу. Их сближение служит строгим критерием римановой интегрируемости. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей. |
| Теорема о среднем для определенного интеграла | $\int_a^b f(x)\,dx=f(c)(b-a),\quad c\in[a,b]$ | Пределы, ряды | Теорема о среднем утверждает, что интеграл непрерывной функции на отрезке равен значению функции в некоторой точке, умноженному на длину отрезка. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей. |
| Равномерная непрерывность на отрезке | $\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0:\ |x-y|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon\quad(x,y\in E)$ | Пределы, ряды | Равномерная непрерывность требует одного δ для всех точек множества E. На замкнутом отрезке всякая непрерывная функция равномерно непрерывна по теореме Гейне-Кантора. |
| Производная по направлению через градиент | $D_{\mathbf u}f(\mathbf a)=\nabla f(\mathbf a)\cdot \mathbf u,\quad \|\mathbf u\|=1$ | Пределы, ряды | Производная по направлению равна скалярному произведению градиента на единичный вектор направления. Она измеряет мгновенную скорость изменения функции вдоль выбранного луча. |
| Дивергенция в цилиндрических координатах | $\nabla\cdot\mathbf F=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rF_r)+\frac{1}{r}\frac{\partial F_\theta}{\partial\theta}+\frac{\partial F_z}{\partial z}$ | Пределы, ряды | Формула дивергенции в цилиндрических координатах учитывает изменение радиального, углового и осевого компонентов поля, включая геометрический множитель r у радиальной части. |
| Длина вектора в Rn | $\|x\|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2}$ | Матрицы, определители | Длина вектора в евклидовом пространстве показывает, насколько далеко точка с координатами вектора находится от начала координат. Формула обобщает теорему Пифагора на любое число координат. |
| Скалярное произведение векторов | $a\cdot b=\sum_{i=1}^{n}a_i b_i$ | Матрицы, определители | Скалярное произведение складывает попарные произведения координат двух векторов и дает число. Через него находят длину, угол между векторами, ортогональность и проекции. |
| Косинус угла между векторами | $\cos\varphi=\frac{a\cdot b}{\|a\|\,\|b\|}$ | Матрицы, определители | Косинус угла между двумя ненулевыми векторами равен скалярному произведению, деленному на произведение их длин. Формула переводит координаты в геометрический угол. |
| Матричное произведение | $(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj}$ | Матрицы, определители | Матричное произведение строит элемент новой матрицы как скалярное произведение строки первой матрицы и столбца второй. Порядок множителей важен. |
| Определитель матрицы 2x2 | $\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$ | Матрицы, определители | Определитель матрицы 2x2 равен разности произведений диагоналей. Он показывает, во сколько раз линейное преобразование меняет ориентированную площадь. |
| Определитель матрицы 3x3 по правилу Саррюса | $\det A=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}$ | Матрицы, определители | Правило Саррюса дает быстрый способ вычислить определитель матрицы 3x3 как сумму трех произведений по нисходящим диагоналям минус сумму трех произведений по восходящим диагоналям. |
| Обратная матрица 2x2 | $A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$ | Матрицы, определители | Обратная матрица 2x2 существует только при ненулевом определителе. Она обращает действие исходной матрицы: A^{-1}A = I, то есть возвращает исходный вектор. |
| Решение системы 2x2 по правилу Крамера | $x=\frac{\Delta_x}{\Delta},\quad y=\frac{\Delta_y}{\Delta}$ | Матрицы, определители | Правило Крамера выражает решение системы двух линейных уравнений через определители. Метод работает, когда главный определитель системы не равен нулю. |
| Ранг матрицы через миноры | $\operatorname{rank}A=\max\{r:\text{существует ненулевой минор порядка }r\}$ | Матрицы, определители | Ранг матрицы равен наибольшему порядку ненулевого минора. Он показывает, сколько строк или столбцов матрицы действительно независимы. |
| След матрицы | $\operatorname{tr}A=a_{11}+a_{22}+\dots+a_{nn}$ | Матрицы, определители | След квадратной матрицы равен сумме элементов главной диагонали. Он сохраняется при замене базиса и связан с собственными значениями. |
| Характеристический многочлен матрицы 2x2 | $p(\lambda)=\lambda^2-\operatorname{tr}(A)\lambda+\det(A)$ | Матрицы, определители | Характеристический многочлен матрицы 2x2 выражается через след и определитель. Его корни являются собственными значениями матрицы. |
| Матричная форма системы линейных уравнений | $Ax=b$ | Матрицы, определители | Матричная форма Ax = b записывает систему линейных уравнений как произведение матрицы коэффициентов на столбец неизвестных. Такая запись позволяет решать систему не как набор отдельных строк, а как единый линейный объект. |
| Расширенная матрица системы | $\left[A\mid b\right]$ | Матрицы, определители | Расширенная матрица [A|b] объединяет коэффициенты системы и правые части в одну таблицу. Она нужна для метода Гаусса, потому что при преобразовании строк меняются и коэффициенты, и правые части. |
| Элементарные преобразования строк | $R_i\leftrightarrow R_j,\quad R_i\leftarrow cR_i\ (c\ne0),\quad R_i\leftarrow R_i+cR_j$ | Матрицы, определители | Элементарные преобразования строк - это три допустимые операции, которые заменяют систему на эквивалентную: перестановка строк, умножение строки на ненулевое число и прибавление кратной строки. |
| Прямой ход метода Гаусса | $R_i\leftarrow R_i-\frac{a_{ik}}{a_{kk}}R_k$ | Матрицы, определители | Прямой ход метода Гаусса зануляет коэффициенты под ведущими элементами. В результате система приводится к ступенчатому виду, из которого решение находят обратной подстановкой. |
| Обратная подстановка в методе Гаусса | $x_i=\frac{b'_i-\sum_{j=i+1}^{n}u_{ij}x_j}{u_{ii}}$ | Матрицы, определители | Обратная подстановка находит неизвестные после прямого хода метода Гаусса. Она идет снизу вверх по ступенчатой системе: сначала последняя ведущая переменная, затем предыдущие. |
| Ступенчатый вид матрицы | $p_1<p_2<\dots<p_r,\quad a_{ij}=0\ \text{ниже ведущих элементов}$ | Матрицы, определители | Ступенчатый вид матрицы - это форма, где ведущие элементы ненулевых строк смещаются вправо при движении вниз, а под каждым ведущим элементом стоят нули. |
| Приведенный ступенчатый вид матрицы | $\operatorname{rref}(A)$ | Матрицы, определители | Приведенный ступенчатый вид, или RREF, усиливает обычный ступенчатый вид: каждый ведущий элемент равен 1, а в его столбце все остальные элементы равны 0. |
| Метод Гаусса-Жордана | $\left[A\mid b\right]\sim\left[I\mid x\right]$ | Матрицы, определители | Метод Гаусса-Жордана продолжает метод Гаусса до приведенного ступенчатого вида. Если система имеет единственное решение, расширенная матрица превращается в [I|x], и ответ читается сразу. |
| Ранг расширенной матрицы системы | $\operatorname{rank}[A\mid b]$ | Матрицы, определители | Ранг расширенной матрицы показывает, добавляет ли столбец правых частей новое независимое условие к строкам матрицы коэффициентов. Это ключ к проверке совместности системы. |
| Теорема Кронекера-Капелли | $\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}[A\mid b]$ | Матрицы, определители | Теорема Кронекера-Капелли дает точный критерий совместности линейной системы: решение существует тогда и только тогда, когда ранги матрицы коэффициентов и расширенной матрицы равны. |
| Проекция вектора на ненормированный вектор | $\operatorname{proj}_{u}(v)=\frac{u^{\top}v}{u^{\top}u}\,u$ | Матрицы, определители | Проекция вектора v на направление u вычисляется через скалярное произведение с нормированием на длину u. Эта формула связывает вычисление с геометрическим смыслом ортогонального разложения: она показывает, какая часть вектора идет вдоль выбранного направления, а какая остается поперек него. |
| Разложение вектора на параллельную и перпендикулярную части | $v=\operatorname{proj}_{u}(v)+\left(v-\operatorname{proj}_{u}(v)\right),\quad u^{\top}\left(v-\operatorname{proj}_{u}(v)\right)=0$ | Матрицы, определители | Любой вектор раскладывается на компоненту вдоль u и ортогональную остаточную часть. Эта формула связывает вычисление с геометрическим смыслом ортогонального разложения: она показывает, какая часть вектора идет вдоль выбранного направления, а какая остается поперек него. |
| Первый вектор в Gram-Schmidt | $q_1=\frac{a_1}{\|a_1\|}$ | Матрицы, определители | Нормировка первого столбца задает первый ортонормированный вектор. Эта формула относится к ортогонализации столбцов матрицы и объясняет, как заменить исходный набор векторов ортонормированным базисом с верхнетреугольными коэффициентами перехода. |
| k-й шаг алгоритма Gram-Schmidt | $u_k=a_k-\sum_{j=1}^{k-1}(q_j^{\top}a_k)\,q_j,\quad q_k=\frac{u_k}{\|u_k\|}$ | Матрицы, определители | Для каждого нового столбца убирают вклад уже построенных ортонормированных направлений, затем нормируют остаток. Эта формула относится к ортогонализации столбцов матрицы и объясняет, как заменить исходный набор векторов ортонормированным базисом с верхнетреугольными коэффициентами перехода. |
| Коэффициенты R через скалярные произведения | $R_{ij}=q_i^{\top}a_j,\quad a_j=\sum_{i=1}^{j}R_{ij}q_i,\quad R_{ij}=0\ (i>j)$ | Матрицы, определители | После построения Q каждую колонку a_j раскладывают по уже найденным q_i. Эта формула относится к ортогонализации столбцов матрицы и объясняет, как заменить исходный набор векторов ортонормированным базисом с верхнетреугольными коэффициентами перехода. |
| Формула QR-разложения | $A = QR,\quad Q^{\top}Q=I_r,\quad R \text{ верхнетреугольная}$ | Матрицы, определители | Матрица A раскладывается в произведение ортонормированной матрицы Q и верхнетреугольной R. Эта формула относится к ортогонализации столбцов матрицы и объясняет, как заменить исходный набор векторов ортонормированным базисом с верхнетреугольными коэффициентами перехода. |
| Проектор на span(Q) | $P=QQ^{\top},\quad P^2=P,\quad P^{\top}=P$ | Матрицы, определители | Проецирование на пространство столбцов Q удобно через матрицу QQ^T. Эта формула относится к ортогонализации столбцов матрицы и объясняет, как заменить исходный набор векторов ортонормированным базисом с верхнетреугольными коэффициентами перехода. |
| Наименьшие квадраты через QR | $\hat{x}=R^{-1}Q^{\top}b,\quad A=QR$ | Матрицы, определители | После QR-раскладывания задача минимизации сводится к решению треугольной системы. Формула показывает устойчивый способ работать с задачей наименьших квадратов через ортогональную геометрию, а не через прямое обращение матрицы или слепое использование нормальных уравнений. |