Все формулы РФ

Геометрия

Геометрия на плоскости

Формулы для точек, отрезков, векторов, прямых и расстояний на двумерной координатной плоскости.

33 формулы

Таблица формул

Формула Запись Тема Для чего нужна
Угол между биссектрисами смежных углов $\frac{\alpha}{2}+\frac{180^\circ-\alpha}{2}=90^\circ$ Геометрия Биссектрисы двух смежных углов взаимно перпендикулярны. Их угол равен 90 градусам, потому что смежные углы в сумме дают 180 градусов. Это уточнение важно для правильного выбора условий и для отличия от похожих записей.
Расстояние между точками в декартовых координатах $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ Прямые, плоскости Формула находит длину отрезка между двумя точками по их координатам и является координатной записью теоремы Пифагора. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла.
Середина отрезка по координатам $M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$ Прямые, плоскости Координаты середины отрезка равны средним арифметическим соответствующих координат его концов. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла.
Деление отрезка в заданном отношении $P\left(\frac{n x_1+m x_2}{m+n},\frac{n y_1+m y_2}{m+n}\right),\quad AP:PB=m:n$ Прямые, плоскости Формула дает координаты точки, которая делит отрезок между A и B в отношении m:n, с большим весом у противоположного конца. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла.
Вектор между двумя точками $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\,y_B-y_A)$ Прямые, плоскости Координаты вектора из A в B равны разности координат конца и начала. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла.
Длина вектора по координатам $\|a\|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}$ Прямые, плоскости Длина вектора на плоскости вычисляется как корень из суммы квадратов его координат. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла.
Скалярное произведение в координатах $a\cdot b=a_x b_x+a_y b_y$ Прямые, плоскости Скалярное произведение в координатах равно сумме произведений соответствующих координат. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла.
Угол между векторами в координатах $\cos\varphi=\frac{a_xb_x+a_yb_y}{\sqrt{a_x^2+a_y^2}\sqrt{b_x^2+b_y^2}}$ Прямые, плоскости Косинус угла между двумя ненулевыми векторами равен их скалярному произведению, деленному на произведение длин. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла.
Уравнение прямой через две точки $\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$ Прямые, плоскости Уравнение прямой через две точки фиксирует равенство отношений координатных приращений для любой точки этой прямой. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла.
Угловой коэффициент прямой по двум точкам $k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ Прямые, плоскости Угловой коэффициент показывает, насколько меняется y при увеличении x на одну единицу. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла.
Расстояние от точки до прямой на плоскости $d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}},\quad Ax+By+C=0$ Прямые, плоскости Расстояние от точки до прямой равно модулю подстановки точки в нормированное общее уравнение прямой. Это базовая страница аналитической геометрии: она помогает перейти от рисунка к вычислению и обратно без потери геометрического смысла.
Уравнение окружности в канонической форме $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ Прямые, плоскости Уравнение окружности в канонической форме: формула (x-a)^2+(y-b)^2=R^2 помогает требуется требуется требуется требуется требуется требуется записать уравнение геометрического объекта по заданным параметрам. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
Уравнение окружности по центру и радиусу $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2$ Прямые, плоскости Уравнение окружности по центру и радиусу: формула (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 помогает записать уравнение геометрического объекта по заданным параметрам. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
Уравнение касательной к окружности в заданной точке $(x_1-a)(x-a_0)+(y_1-b)(y-b_0)=R^2$ Прямые, плоскости Уравнение касательной к окружности в заданной точке: формула (x_1-a)(x-a_0)+(y_1-b)(y-b_0)=R^2 помогает записать уравнение геометрического объекта по заданным параметрам. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
Дискриминант пересечения окружности и прямой $\Delta=(A^2+B^2)R^2-(A x_0+B y_0+C)^2$ Прямые, плоскости Дискриминант пересечения окружности и прямой: формула \Delta=(A^2+B^2)R^2-(A x_0+B y_0+C)^2 помогает перейти от геометрического условия к координатной записи. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
Каноническое уравнение эллипса $\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1,\ a\ge b>0$ Прямые, плоскости Каноническое уравнение эллипса: формула \frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1,\ a\ge b>0 помогает записать уравнение геометрического объекта по заданным параметрам. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
Расстояние от центра до фокуса эллипса $c=\sqrt{a^2-b^2},\quad e=\frac{c}{a}$ Прямые, плоскости Расстояние от центра до фокуса эллипса: формула c=\sqrt{a^2-b^2},\quad e=\frac{c}{a} помогает требуется требуется требуется требуется требуется требуется найти расстояние по координатам, точке, прямой или плоскости. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
Каноническое уравнение гиперболы $\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$ Прямые, плоскости Каноническое уравнение гиперболы: формула \frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1 помогает записать уравнение геометрического объекта по заданным параметрам. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
Асимптоты гиперболы в канонических координатах $y-k=\pm\frac{b}{a}(x-h)$ Прямые, плоскости Асимптоты гиперболы в канонических координатах: формула y-k=\pm\frac{b}{a}(x-h) помогает перейти от геометрического условия к координатной записи. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
Каноническое уравнение параболы $y-k = a(x-h)^2$ Прямые, плоскости Каноническое уравнение параболы: формула y-k = a(x-h)^2 помогает записать уравнение геометрического объекта по заданным параметрам. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
Парабола через фокус и директрису $\sqrt{(x-x_f)^2+(y-y_f)^2}=\left|\frac{Ax+B y+C}{\sqrt{A^2+B^2}}\right|$ Прямые, плоскости Парабола через фокус и директрису: формула \sqrt{(x-x_f)^2+(y-y_f)^2}=\left|\frac{Ax+B y+C}{\sqrt{A^2+B^2}}\right| помогает перейти от геометрического условия к координатной записи. В тексте есть условия, пример, ошибки и проверка результата.
Переход от полярных к декартовым координатам $x=r\cos\varphi,\quad y=r\sin\varphi,\quad r=\sqrt{x^2+y^2},\quad \varphi=\operatorname{atan2}(y,x)$ Прямые, плоскости Переход между полярными и декартовыми координатами связывает радиус-вектор и угол точки с ее проекциями на координатные оси.
Расстояние между точками в полярных координатах $d=\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1r_2\cos(\varphi_1-\varphi_2)}$ Прямые, плоскости Расстояние между двумя полярными точками находится по теореме косинусов для треугольника с сторонами r1, r2 и углом между радиусами.
Уравнение прямой в полярных координатах $r\cos(\varphi-\alpha)=p$ Прямые, плоскости Полярное уравнение прямой задает прямую через расстояние p от полюса до прямой и угол α направления ее нормали, что удобно для задач с лучами и секторами.
Окружность в полярных координатах $r^2-2ar\cos\varphi-2br\sin\varphi+a^2+b^2-R^2=0$ Прямые, плоскости Полярное уравнение окружности получается из декартовой окружности с центром (a,b) после подстановки x=r cos φ и y=r sin φ.
Коника в полярных координатах через фокус и директрису $r=\frac{\ell}{1+e\cos\varphi}$ Прямые, плоскости Полярная форма коники с фокусом в полюсе описывает эллипс, параболу или гиперболу через эксцентриситет e и фокальный параметр ℓ.
Производная параметрической кривой $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt},\quad dx/dt\ne0$ Прямые, плоскости Производная параметрической кривой равна отношению скоростей изменения y и x по параметру t, если dx/dt не равно нулю в рассматриваемой точке.
Касательная к параметрической кривой $y-y(t_0)=\frac{y'(t_0)}{x'(t_0)}\,(x-x(t_0)),\quad x'(t_0)\ne0$ Прямые, плоскости Касательная к параметрической кривой строится через точку кривой при t0 и наклон, равный отношению y'(t0) к x'(t0), с отдельной проверкой вертикального случая.
Длина дуги параметрической кривой $L=\int_a^b\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt$ Прямые, плоскости Длина дуги параметрической кривой равна интегралу от скорости точки, движущейся по кривой от параметра a до параметра b.
Кривизна параметрической кривой $\kappa=\frac{|x'y''-y'x''|}{\left((x')^2+(y')^2\right)^{3/2}}$ Прямые, плоскости Кривизна параметрической кривой измеряет скорость поворота касательной и выражается через первые и вторые производные координат.
Площадь в полярных координатах $S=\frac12\int_{\alpha}^{\beta} r(\varphi)^2\,d\varphi$ Прямые, плоскости Площадь области в полярных координатах равна половине интеграла квадрата радиуса по углу на выбранном промежутке без повторного обхода области.
Поворот координат на плоскости $x'=x\cos\alpha+y\sin\alpha,\quad y'=-x\sin\alpha+y\cos\alpha$ Прямые, плоскости Поворот координат на плоскости описывает координаты той же точки в системе осей, повернутой на угол α относительно старой системы.
Барицентрические координаты в треугольнике через площади $\lambda_A=\frac{S_{PBC}}{S_{ABC}},\quad \lambda_B=\frac{S_{APC}}{S_{ABC}},\quad \lambda_C=\frac{S_{ABP}}{S_{ABC}}$ Прямые, плоскости Барицентрические координаты точки в треугольнике равны отношениям площадей трех малых треугольников к площади исходного треугольника.