Уровень
Школьная программа, страница 4
Базовые формулы школьного курса с объяснениями и примерами.
657 формул
Таблица формул
Показаны 181-240 из 657. Остальные формулы доступны на соседних страницах подборки.
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Частота пружинного маятника | $\nu=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$ | Колебания и волны | Частота пружинного маятника определяется жесткостью пружины и массой груза: жесткая пружина повышает частоту, большая масса понижает ее. |
| Эффект Доплера для звука | $\nu'=\nu\frac{v\pm v_o}{v\mp v_s}$ | Колебания и волны | Эффект Доплера описывает изменение наблюдаемой частоты волны при движении источника или наблюдателя относительно среды. В акустике это проявляется как изменение высоты слышимого тона. |
| Средняя кинетическая энергия молекулы идеального газа | $\overline{E_k}=\frac{3}{2}kT$ | Молекулярная физика | Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы идеального газа пропорциональна абсолютной температуре. Она задает микроскопический смысл температуры. |
| Уравнение Менделеева - Клапейрона | $pV=\nu RT$ | Молекулярная физика | Уравнение состояния идеального газа связывает давление, объем, количество вещества и абсолютную температуру газа. Оно задает равновесную модель разреженного газа. |
| Универсальная газовая постоянная | $R=N_A k$ | Молекулярная физика | Универсальная газовая постоянная равна произведению постоянной Авогадро на постоянную Больцмана и связывает молярный и молекулярный уровни описания газа. |
| Закон Генри для растворимости газа | $c=k_H p$ | Термодинамика | Закон Генри утверждает, что при постоянной температуре растворимость газа в жидкости пропорциональна парциальному давлению этого газа над раствором. |
| Закон излучения Кирхгофа | $\frac{e_\lambda(T)}{a_\lambda(T)}=e_{\lambda}^{(\text{ч.т.})}(T)$ | Термодинамика | Закон Кирхгофа для теплового излучения утверждает, что отношение спектральной излучательной способности тела к его поглощательной способности равно излучению абсолютно черного тела при той же температуре. |
| Закон Стефана - Больцмана | $P=\sigma S T^4$ | Термодинамика | Мощность излучения абсолютно черного тела пропорциональна площади поверхности и четвертой степени абсолютной температуры. |
| Первый закон термодинамики | $Q=\Delta U + A$ | Термодинамика | Первый закон термодинамики выражает сохранение энергии: полученное системой тепло идет на изменение внутренней энергии и работу, совершенную системой. |
| Условие теплового равновесия | $T_1=T_2$ | Термодинамика | Тепловое равновесие двух тел означает равенство их температур и отсутствие направленного теплообмена между ними. Это условие лежит в основе термометрии. |
| Формула Рэлея - Джинса | $u(\nu,T)=\frac{8\pi \nu^2}{c^3}kT$ | Термодинамика | Формула Рэлея - Джинса описывает спектральную плотность энергии черного тела в классическом приближении и хорошо работает на малых частотах. |
| Уравнение Клаузиуса - Клапейрона | $\frac{dp}{dT}=\frac{L}{T\Delta V}$ | Термодинамика | Уравнение Клаузиуса - Клапейрона связывает наклон линии фазового равновесия с теплотой перехода, температурой и изменением объема. |
| Длина свободного пробега молекулы | $\lambda=\frac{1}{\sqrt{2}\,\pi d^2 n}$ | Молекулярная физика | Средняя длина свободного пробега показывает, какое расстояние молекула газа в среднем проходит между последовательными столкновениями. |
| Наиболее вероятная скорость молекул | $v_{\text{нв}}=\sqrt{\frac{2RT}{M}}$ | Молекулярная физика | Наиболее вероятная скорость молекул идеального газа соответствует максимуму распределения Максвелла по модулю скорости. Она не совпадает со средней скоростью. |
| Средняя квадратичная скорость молекул | $v_{\text{с.кв.}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}$ | Молекулярная физика | Средняя квадратичная скорость молекул, или v_rms, равна корню из 3RT/M для идеального газа. Она связана с температурой, молярной массой и средней кинетической энергией поступательного движения. |
| Радианная мера угла через длину дуги | $\alpha=\frac{l}{R}$ | Тригонометрия | Радианная мера угла равна отношению длины соответствующей дуги окружности к радиусу этой окружности и задает естественный числовой аргумент тригонометрических функций. |
| Перевод градусов в радианы | $\alpha_{rad}=\alpha_{deg}\cdot\frac{\pi}{180}$ | Тригонометрия | Чтобы перевести градусы в радианы, градусную меру умножают на π и делят на 180, потому что 180° соответствуют π радианам. |
| Перевод радианов в градусы | $\alpha_{deg}=\alpha_{rad}\cdot\frac{180}{\pi}$ | Тригонометрия | Чтобы перевести радианы в градусы, радианную меру умножают на 180 и делят на π, используя соответствие π рад = 180° для одной полуокружности. |
| Синус и косинус на единичной окружности | $P(t)=(\cos t;\sin t)$ | Тригонометрия | На единичной окружности косинус угла равен абсциссе точки, а синус равен ее ординате после соответствующего поворота от оси Ox. |
| Тангенс через синус и косинус | $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ | Тригонометрия | Тангенс угла равен отношению синуса к косинусу при условии, что косинус этого угла не равен нулю, поэтому область определения нужно проверять. |
| Тождества для тангенса и котангенса | $1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x},\quad 1+\cot^2 x=\frac{1}{\sin^2 x}$ | Тригонометрия | Тождества для тангенса и котангенса выводятся из основного тригонометрического тождества делением на cos²x или sin²x с учетом ограничений. |
| Формула синуса суммы | $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$ | Тригонометрия | Синус суммы двух углов равен сумме произведений синуса одного угла на косинус другого и является базовой формулой сложения. |
| Формула косинуса суммы | $\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$ | Тригонометрия | Косинус суммы двух углов равен произведению косинусов минус произведение синусов этих углов, поэтому знак в середине критически важен. |
| Формула тангенса суммы | $\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$ | Тригонометрия | Тангенс суммы равен дроби, где в числителе сумма тангенсов, а в знаменателе единица минус произведение тангенсов двух углов. |
| Формулы двойного угла | $\sin 2x=2\sin x\cos x,\quad \cos 2x=\cos^2x-\sin^2x$ | Тригонометрия | Формулы двойного угла выражают синус и косинус 2x через синус и косинус угла x и следуют из формул сложения при x + x в тригонометрии. |
| Определение производной через предел | $f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ | Начала анализа | Производная функции в точке равна пределу отношения приращения функции к приращению аргумента, если этот предел существует. |
| Производная степенной функции | $(x^n)'=nx^{n-1}$ | Начала анализа | Производная степенной функции x^n равна n·x^(n-1), то есть показатель степени становится коэффициентом и уменьшается на единицу. |
| Производная суммы и разности | $(u\pm v)'=u'\pm v'$ | Начала анализа | Производная суммы или разности функций равна сумме или разности их производных при условии, что обе производные существуют. |
| Производная произведения | $(uv)'=u'v+uv'$ | Начала анализа | Производная произведения двух функций равна производной первой функции, умноженной на вторую, плюс первая функция, умноженная на производную второй. |
| Производная частного | $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$ | Начала анализа | Производная частного двух функций равна дроби, в числителе которой стоит u'v − uv', а в знаменателе квадрат знаменателя исходной дроби. |
| Производная сложной функции | $(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$ | Начала анализа | Производная сложной функции равна производной внешней функции, взятой от внутренней, умноженной на производную внутренней функции. |
| Уравнение касательной к графику функции | $y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$ | Начала анализа | Касательная к графику функции в точке x0 имеет угловой коэффициент f'(x0) и проходит через точку графика (x0; f(x0)) как обычная прямая. |
| Признак возрастания и убывания через производную | $f'(x)>0\Rightarrow f\uparrow,\quad f'(x)<0\Rightarrow f\downarrow$ | Начала анализа | Если производная положительна на интервале, функция возрастает; если производная отрицательна на интервале, функция убывает. |
| Критические точки и экстремум функции | $f'(x_0)=0\ \text{или}\ f'(x_0)\ \text{не существует}$ | Начала анализа | Критические точки функции ищут среди точек, где производная равна нулю или не существует, а экстремум подтверждают сменой знака производной. |
| Первообразная степенной функции | $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\quad n\ne -1$ | Начала анализа | Первообразная степенной функции x^n равна x^(n+1)/(n+1) плюс постоянная C, если показатель степени не равен −1, и проверяется производной. |
| Сумма двух чисел | $a+b=c$ | Сложение, вычитание | Сумма показывает, сколько предметов получится, если к одной группе добавить другую группу и посчитать все предметы вместе. |
| Неизвестное слагаемое через сумму | $a=c-b$ | Сложение, вычитание | Чтобы найти неизвестное слагаемое, из суммы вычитают известное слагаемое: так находят недостающую часть целого и проверяют ответ сложением. |
| Разность двух чисел | $a-b=c$ | Сложение, вычитание | Разность показывает, сколько останется после удаления части или на сколько одно число больше другого при сравнении двух количеств. |
| Уменьшаемое через разность и вычитаемое | $a=c+b$ | Сложение, вычитание | Чтобы найти уменьшаемое, к разности прибавляют вычитаемое: так восстанавливают исходное количество до вычитания и проверяют ход задачи. |
| Вычитаемое через уменьшаемое и разность | $b=a-c$ | Сложение, вычитание | Чтобы найти вычитаемое, из уменьшаемого вычитают разность: так узнают, какую часть убрали, потратили или отделили от целого. |
| Сравнение: на сколько больше или меньше | $d=a-b,\quad a\ge b$ | Счет, сравнение чисел | Чтобы узнать, на сколько одно число больше или меньше другого, из большего числа вычитают меньшее и получают разницу между ними. |
| Число на несколько больше | $x=a+k$ | Счет, сравнение чисел | Чтобы получить число на несколько больше, к исходному числу прибавляют указанное количество и находят новое большее значение. |
| Число на несколько меньше | $x=a-k$ | Счет, сравнение чисел | Чтобы получить число на несколько меньше, из исходного числа вычитают указанное количество и получают новое меньшее значение. |
| Длина отрезка по частям | $L=l_1+l_2$ | Длина, масса | Если отрезок состоит из двух частей, его общая длина равна сумме длин этих частей, измеренных в одной единице длины без промежутков. |
| Периметр простой ломаной | $P=l_1+l_2+\dots+l_n$ | Точка, прямая | Периметр простой ломаной или границы фигуры находят сложением длин всех ее звеньев или сторон в одной единице длины без пропусков. |
| Умножение как сумма одинаковых слагаемых | $a\cdot n=\underbrace{a+a+\dots+a}_{n\text{ раз}}$ | Умножение, деление | Умножение показывает сумму одинаковых слагаемых: если число a повторяется n раз, его можно записать короче как a · n и проверить сложением. |
| Перестановка множителей | $a\cdot b=b\cdot a$ | Умножение, деление | От перестановки множителей произведение не меняется: одинаковый прямоугольный набор можно считать по строкам или по столбцам. |
| Умножение на ноль | $a\cdot 0=0,\quad 0\cdot a=0$ | Умножение, деление | Если число умножить на ноль или ноль умножить на число, произведение равно нулю, потому что нет ни одной заполненной группы. |
| Умножение на единицу | $a\cdot 1=a,\quad 1\cdot a=a$ | Умножение, деление | Если число умножить на единицу или единицу умножить на число, произведение равно этому же числу, потому что количество не увеличивается. |
| Деление на равные части | $x=N:k$ | Умножение, деление | При делении на равные части общее количество N распределяют поровну на k групп и находят, сколько будет в одной группе после распределения. |
| Число групп при делении | $m=N:q$ | Умножение, деление | Чтобы узнать число одинаковых групп, общее количество N делят на количество предметов q в одной группе и получают число полных наборов. |
| Неизвестный множитель | $x=P:a$ | Умножение, деление | Чтобы найти неизвестный множитель, произведение делят на известный множитель и проверяют ответ обратным умножением в исходной записи. |
| Стоимость покупки по цене и количеству | $C=p\cdot n$ | Стоимость, движение | Стоимость покупки равна цене одного предмета, умноженной на количество одинаковых предметов, если все они продаются по одной цене. |
| Периметр прямоугольника через сумму сторон | $P=a+b+a+b$ | Точка, прямая | Периметр прямоугольника равен сумме всех четырех сторон: длина, ширина, снова длина и снова ширина в одной единице длины. |
| Периметр квадрата | $P=4a$ | Точка, прямая | Периметр квадрата равен длине одной стороны, умноженной на 4, потому что у квадрата четыре равные стороны границы фигуры. |
| Умножение суммы на число | $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$ | Умножение, деление | Умножение суммы на число позволяет сначала сложить числа в скобках, а можно умножить каждое слагаемое на это число и сложить результаты. |
| Деление суммы на число | $(a+b):c=a:c+b:c$ | Умножение, деление | Деление суммы на число разрешает разделить каждое слагаемое на одно и то же число и сложить частные, если такие деления выполняются без остатка. |
| Порядок действий без скобок | $\text{умножение и деление} \; \rightarrow \; \text{сложение и вычитание}$ | Умножение, деление | В выражениях без скобок сначала выполняют умножение и деление по порядку слева направо, а затем сложение и вычитание по порядку слева направо. |
| Порядок действий со скобками | $\text{скобки} \; \rightarrow \; \text{умножение и деление} \; \rightarrow \; \text{сложение и вычитание}$ | Умножение, деление | Если в выражении есть скобки, сначала выполняют действия внутри скобок, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание. |
| Неизвестное делимое | $x:a=b \Rightarrow x=b\cdot a$ | Умножение, деление | Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель: если x : a = b, то x = b · a, а затем проверить ответ обратным делением. |