Уровень
Школьная программа, страница 5
Базовые формулы школьного курса с объяснениями и примерами.
657 формул
Таблица формул
Показаны 241-300 из 657. Остальные формулы доступны на соседних страницах подборки.
| Формула | Запись | Тема | Для чего нужна |
|---|---|---|---|
| Неизвестный делитель | $a:x=b \Rightarrow x=a:b$ | Умножение, деление | Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное: если a : x = b, то x = a : b, а правильность проверяется исходным делением. |
| Деление с остатком | $a=b\cdot q+r,\quad 0\le r<b$ | Умножение, деление | При делении с остатком делимое равно произведению делителя и неполного частного плюс остаток, причем остаток всегда меньше делителя. |
| Площадь прямоугольника по клеткам | $S=a\cdot b$ | Точка, прямая | Площадь прямоугольника равна произведению длины и ширины: формула показывает, сколько единичных квадратов помещается внутри прямоугольника. |
| Площадь квадрата | $S=a\cdot a$ | Точка, прямая | Площадь квадрата равна произведению стороны самой на себя, потому что у квадрата длина и ширина одинаковы и образуют квадратную сетку. |
| Периметр многоугольника | $P=a_1+a_2+\dots+a_n$ | Точка, прямая | Периметр многоугольника равен сумме длин всех его сторон: нужно пройти по границе фигуры и сложить каждую сторону по порядку. |
| Расстояние по скорости и времени | $S=v\cdot t$ | Стоимость, движение | Расстояние равно скорости, умноженной на время движения: формула показывает, какой путь пройдет объект при постоянной скорости. |
| Скорость по расстоянию и времени | $v=S:t$ | Стоимость, движение | Скорость равна расстоянию, деленному на время: формула показывает, какой путь проходили за одну единицу времени при равномерном движении. |
| Время по расстоянию и скорости | $t=S:v$ | Стоимость, движение | Время движения равно расстоянию, деленному на скорость: формула показывает, сколько единиц времени нужно, чтобы пройти весь путь. |
| Работа по производительности и времени | $A=p\cdot t$ | Стоимость, движение | Объем работы равен производительности, умноженной на время: если за одну единицу времени делают p единиц, то за t единиц времени сделают p · t. |
| Производительность по работе и времени | $p=A:t$ | Стоимость, движение | Производительность равна объему работы, деленному на время: формула показывает, сколько работы выполняют за одну единицу времени. |
| Время работы по объему и производительности | $t=A:p$ | Стоимость, движение | Время работы равно объему работы, деленному на производительность: формула показывает, сколько единиц времени нужно для выполнения всего объема. |
| Перевод квадратных единиц площади | $1\,\text{дм}^2=100\,\text{см}^2,\quad 1\,\text{м}^2=100\,\text{дм}^2=10000\,\text{см}^2$ | Длина, масса | Квадратные единицы переводятся не как длины: если сторона увеличивается в 10 раз, площадь единичного квадрата увеличивается в 100 раз. |
| Площадь составной фигуры через сумму частей | $S=S_1+S_2+\dots+S_n$ | Точка, прямая | Площадь составной фигуры можно найти как сумму площадей непересекающихся частей, если фигуру удобно разбить на прямоугольники или квадраты. |
| Площадь составной фигуры через вычитание | $S=S_{\text{большая}}-S_{\text{вырез}}$ | Точка, прямая | Площадь фигуры с вырезом можно найти как площадь большого прямоугольника минус площадь удаленной части, если вырез полностью находится внутри. |
| Площадь и периметр прямоугольника в одной задаче | $S=a\cdot b,\quad P=2(a+b)$ | Точка, прямая | В задачах о прямоугольнике площадь и периметр находят по разным формулам: площадь умножает стороны, периметр складывает границу. |
| Разрядная запись многозначного числа | $N=a_n\cdot10^n+a_{n-1}\cdot10^{n-1}+\dots+a_1\cdot10+a_0$ | Натуральные числа, делимость | Разрядная запись показывает, что многозначное число состоит из единиц, десятков, сотен, тысяч и других разрядов, умноженных на степени 10. |
| Среднее арифметическое нескольких чисел | $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$ | Натуральные числа, делимость | Среднее арифметическое равно сумме всех чисел, деленной на их количество; оно показывает равное значение, которое заменяет набор чисел. |
| Дробь как часть целого | $\frac{m}{n}=m\cdot\frac{1}{n}$ | Обыкновенные дроби, смешанные числа | Обыкновенная дробь m/n показывает m равных частей целого, если целое разделено на n одинаковых частей, и помогает записывать доли величин, которые нельзя удобно выразить только целыми числами. |
| Нахождение части числа по дроби | $\text{часть}=A\cdot\frac{m}{n}=A:n\cdot m$ | Обыкновенные дроби, смешанные числа | Чтобы найти дробь от числа, можно разделить число на знаменатель и умножить результат на числитель, сохраняя смысл равных долей целого и единицы исходной величины. |
| Нахождение числа по его дроби | $A=\text{часть}:m\cdot n$ | Обыкновенные дроби, смешанные числа | Чтобы найти целое по известной дробной части, нужно известную часть разделить на числитель и умножить на знаменатель дроби; это обратная задача к нахождению доли. |
| Процент как сотая часть числа | $p\%=\frac{p}{100}$ | Проценты, процентное изменение | Процент означает сотую часть: p процентов равны дроби p/100 от выбранного целого, поэтому проценты можно переводить в дроби, сравнивать доли и решать практические задачи. |
| Процент от числа | $\text{часть}=A\cdot\frac{p}{100}$ | Проценты, процентное изменение | Чтобы найти p процентов от числа A, нужно перевести процент в дробь p/100 и умножить на A, то есть найти нужное количество сотых долей от выбранного целого. |
| Площадь прямоугольника в задачах 5 класса | $S=a\cdot b$ | Геометрия | Площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины; в 5 классе формула используется с единицами площади и практическими задачами. |
| Объем прямоугольного параллелепипеда | $V=a\cdot b\cdot c$ | Геометрия | Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех измерений: длины, ширины и высоты, если все они выражены в одинаковых единицах длины. |
| Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда | $S_{\text{пов}}=2(ab+bc+ac)$ | Геометрия | Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна сумме площадей всех шести граней: по две грани каждого вида, если тело закрыто со всех сторон. |
| Признаки делимости на 2, 5 и 10 | $n\vdots2\Leftrightarrow a_0\in\{0,2,4,6,8\},\quad n\vdots5\Leftrightarrow a_0\in\{0,5\},\quad n\vdots10\Leftrightarrow a_0=0$ | Арифметика и теория чисел | Признаки делимости на 2, 5 и 10 позволяют определить делимость натурального числа по последней цифре, не выполняя деление столбиком. |
| Признаки делимости на 3 и 9 | $n\vdots3\Leftrightarrow S(n)\vdots3,\quad n\vdots9\Leftrightarrow S(n)\vdots9$ | Арифметика и теория чисел | Число делится на 3 или 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится соответственно на 3 или 9, поэтому большое число можно проверить коротким сложением цифр. |
| Простые и составные числа | $p>1,\;D(p)=\{1,p\}$ | Арифметика и теория чисел | Простое число имеет ровно два натуральных делителя: 1 и само число; составное число имеет больше двух натуральных делителей. |
| Разложение числа на простые множители | $n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\dots p_k^{\alpha_k}$ | Арифметика и теория чисел | Разложение на простые множители представляет составное число как произведение простых чисел, часто с использованием степеней одинаковых множителей. |
| Наибольший общий делитель | $\gcd(a,b)=\prod p_i^{\min(\alpha_i,\beta_i)}$ | Арифметика и теория чисел | Наибольший общий делитель двух чисел равен произведению общих простых множителей, взятых в меньших степенях, и показывает самую большую общую меру чисел. |
| Наименьшее общее кратное | $\operatorname{lcm}(a,b)=\prod p_i^{\max(\alpha_i,\beta_i)}$ | Арифметика и теория чисел | Наименьшее общее кратное двух чисел равно произведению всех простых множителей из разложений, взятых в больших степенях. |
| Сокращение дроби по НОД | $\frac{a}{b}=\frac{a:d}{b:d},\quad d=\gcd(a,b)$ | Обыкновенные дроби, смешанные числа | Чтобы сократить дробь максимально, числитель и знаменатель делят на их наибольший общий делитель, сохраняя значение дроби и получая несократимую запись. |
| Приведение дробей к общему знаменателю | $\frac{a}{m}=\frac{a\cdot(k/m)}{k},\quad \frac{b}{n}=\frac{b\cdot(k/n)}{k},\quad k=\operatorname{lcm}(m,n)$ | Обыкновенные дроби, смешанные числа | Чтобы привести две дроби к общему знаменателю, обычно берут НОК знаменателей и домножают числители на дополнительные множители. |
| Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями | $\frac{a}{m}\pm\frac{b}{n}=\frac{a\cdot(k/m)\pm b\cdot(k/n)}{k},\quad k=\operatorname{lcm}(m,n)$ | Обыкновенные дроби, смешанные числа | Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, их приводят к общему знаменателю, а затем выполняют действие с числителями. |
| Умножение обыкновенных дробей | $\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d},\quad b\ne0,\;d\ne0$ | Обыкновенные дроби, смешанные числа | При умножении обыкновенных дробей перемножают числители и знаменатели, а затем при возможности сокращают результат до несократимой дроби. |
| Корень линейного уравнения ax + b = 0 | $x = -\frac{b}{a},\quad a \ne 0$ | Алгебра | Корень линейного уравнения ax + b = 0 находят переносом свободного члена в правую часть и делением на ненулевой коэффициент при x. |
| Основное свойство пропорции | $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\quad \Longleftrightarrow \quad ad = bc$ | Алгебра | Основное свойство пропорции утверждает: в равенстве двух дробей произведение крайних членов равно произведению средних членов. |
| Произведение степеней с одинаковым основанием | $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ | Алгебра | При умножении степеней с одинаковым основанием основание сохраняют, а показатели складывают, потому что множители одного вида объединяются. |
| Частное степеней с одинаковым основанием | $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n},\quad a \ne 0$ | Алгебра | При делении степеней с одинаковым ненулевым основанием основание сохраняют, а из показателя числителя вычитают показатель знаменателя. |
| Степень произведения | $(ab)^n = a^n b^n$ | Алгебра | Степень произведения равна произведению степеней всех множителей: каждый множитель внутри скобок возводится в тот же показатель. |
| Степень степени | $(a^m)^n = a^{mn}$ | Алгебра | При возведении степени в степень основание сохраняют, а показатели перемножают, потому что число одинаковых множителей повторяется группами. |
| Линейная функция | $y = kx + b$ | Функции и графики | Линейная функция задает зависимость y = kx + b, где график представляет собой прямую, k отвечает за наклон, а b - за пересечение с осью Oy. |
| Угловой коэффициент прямой | $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1},\quad x_1 \ne x_2$ | Функции и графики | Угловой коэффициент прямой равен отношению изменения y к изменению x между двумя разными точками этой прямой. Запись сразу показывает смысл результата и ограничения для подстановки. |
| Сумма смежных углов | $\alpha + \beta = 180^\circ$ | Геометрия | Сумма смежных углов: смежные углы имеют общую сторону, а две другие стороны образуют прямую. В вычислениях это записывают как alpha + beta = 180 градусов, если обозначения выбраны как в формуле. |
| Вертикальные углы | $\alpha = \beta$ | Геометрия | Вертикальные углы: вертикальные углы возникают при пересечении двух прямых и лежат напротив друг друга. В вычислениях это записывают как alpha = beta, если обозначения выбраны как в формуле. |
| Сумма углов треугольника | $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$ | Геометрия | Сумма углов треугольника: три внутренних угла любого треугольника вместе образуют 180 градусов. В вычислениях это записывают как alpha + beta + gamma = 180 градусов, если обозначения выбраны как в формуле. |
| Внешний угол треугольника | $\alpha_{\text{внеш}} = \beta + \gamma$ | Геометрия | Внешний угол треугольника: внешний угол при вершине треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. В вычислениях это записывают как alpha внеш = beta + gamma, если обозначения выбраны как в формуле. |
| Периметр треугольника | $P = a + b + c$ | Геометрия | Периметр треугольника: периметр треугольника равен длине всей его границы. В вычислениях это записывают как P = a + b + c, если обозначения выбраны как в формуле. |
| Периметр прямоугольника | $P = 2(a + b)$ | Геометрия | Периметр прямоугольника: периметр прямоугольника складывается из двух длин и двух ширин. В вычислениях это записывают как P = 2(a + b), если обозначения выбраны как в формуле. |
| Площадь прямоугольника | $S = ab$ | Геометрия | Площадь прямоугольника: площадь прямоугольника равна числу единичных квадратов в прямоугольной сетке. В вычислениях это записывают как S = ab, если обозначения выбраны как в формуле. |
| Расстояние между точками на координатной прямой | $d = |x_2 - x_1|$ | Алгебра | Расстояние между точками на координатной прямой равно модулю разности их координат, поэтому результат всегда неотрицателен. |
| Приведение подобных слагаемых | $ka + ma = (k + m)a$ | Алгебра | Приведение подобных слагаемых позволяет заменить сумму однотипных членов одним членом с общим буквенным множителем. Это базовое действие для упрощения выражений, решения линейных уравнений и подготовки многочленов к дальнейшим преобразованиям. |
| Произведение одночленов | $(ax^m)(bx^n) = abx^{m+n}$ | Алгебра | Произведение одночленов получают перемножением коэффициентов и сложением показателей степеней у одинаковых оснований. Формула связывает тему одночленов с правилами степеней и используется при умножении многочленов. |
| Степень одночлена | $(ax^m)^n = a^n x^{mn}$ | Алгебра | При возведении одночлена в степень коэффициент возводится в эту степень, а показатели степеней у переменных умножаются на показатель внешней степени. |
| Умножение многочлена на одночлен | $a(b + c) = ab + ac$ | Алгебра | Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно умножить на этот одночлен каждый член многочлена и затем привести подобные слагаемые, если они появились. |
| Умножение многочлена на многочлен | $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$ | Алгебра | Чтобы умножить многочлен на многочлен, каждый член первого многочлена умножают на каждый член второго, затем приводят подобные слагаемые. |
| Вынесение общего множителя за скобки | $ab + ac = a(b + c)$ | Алгебра | Вынесение общего множителя за скобки превращает сумму одночленов с общей частью в произведение. Это первый и самый важный способ разложения многочлена на множители в 7 классе. |
| Разложение многочлена группировкой | $ax + ay + bx + by = (a + b)(x + y)$ | Алгебра | Разложение группировкой помогает разложить многочлен на множители, если общий множитель виден не сразу во всех членах, но появляется после объединения слагаемых в пары или группы. |
| Линейное уравнение с двумя переменными | $ax + by = c$ | Алгебра | Линейное уравнение с двумя переменными связывает две неизвестные величины первой степени. Его решениями являются пары чисел, а графиком на координатной плоскости обычно служит прямая. |
| Метод подстановки для системы линейных уравнений | $y = kx + b,\quad ax + by = c$ | Алгебра | Метод подстановки решает систему линейных уравнений так: из одного уравнения выражают одну переменную и подставляют полученное выражение в другое уравнение. |